Hawkingin säteily on hypoteettista säteilyä, jota oletetaan syntyvän mustan aukon tapahtumahorisontin läheisyydessä. Teorian kehitti Stephen Hawking vuonna 1974. Kyse on hiukkas-antihiukkaspareista, joita kutsutaan virtuaalihiukkasiksi, jotka ilmestyvät tyhjiöstä ja normaalisti annihiloituvat välittömästi – niin nopeasti etteivät ne edes ehdi rikkoa mitään luonnonlakeja olemassaolollaan. Kun hiukkaset syntyvät tapahtumahorisontin lähellä, hiukkasparin toinen hiukkanen voi joutua mustaan aukkoon ja luovuttaa parilleen hieman energiaa. Lisäenergiaa saanut hiukkanen puolestaan muuttuu reaaliseksi kumppaninsa kadottua ja pakenee mustan aukon ulottuvilta. Ulkopuolisesta tarkkailijasta näyttää siltä, että hiukkanen tulee mustasta aukosta ja musta aukko säteilisi.

Mustan aukon säteilyä ei ole havaittu. Tämä johtuu siitä, että tuntemamme mustat aukot ovat vain sellaisia mustia aukkoja, jotka ovat syntyneet tähden luhistuessa. Esimerkiksi muutaman Auringon massaisen mustan aukon säteily on vain asteen miljoonasosan päässä absoluuttisesta nollapisteestä. Kosminen taustasäteily peittää tehokkaasti suurten mustien aukkojen säteilyn, koska säteily on noin 2,7 kelviniä absoluuttisen nollapisteen yläpuolella.

Hawkingin säteilyn lämpötilan voi laskea kaavasta

T=hc316π2kGMdisplaystyle T=frac hc^316pi ^2kGM,

jossa c on valonnopeus, h on Planckin vakio, G on painovoimavakio, M on mustan aukon massa ja k on Boltzmannin vakio.

Mustien aukkojen termodynamiikkaa |

Ensimmäisen vihjeen Hawkingin säteilystä antoivat teoreettiset tarkastelut siitä, mitä tapahtuu aineen tai säteilyn syöksyessä mustaan aukkoon tai kahden mustan aukon törmätessä toisiinsa. Osoittautui, että tällaisissa tapauksissa vallitsevat lait ovat merkillisellä tavalla analogiset termodynamiikan pääsäännöille.

Niinpä mustien aukkojen tapahtumahorisonttien yhteenlaskettu pinta-ala joko pysyy vakiona tai kasvaa kaikissa tällaisissa ilmiöissä, mutta ei koskaan pienene. Tässä suhteessa se muistuttaa entropiaa, joka termodynamiikan toisen pääsäännön mukaan aina kasvaa, paitsi reversiibeleissä prosesseissa, joissa se pysyy vakiona, mutta ei koskaan pienene.^[1] Lisäksi kahden mustan aukon törmätessä syntyvä aukko asettuu tasapainotilaan siten, että sen pinnalla pintagravitaatio on kaikkialla yhtä suuri, samaan tapaan kuin termodynamiikan nollannen pääsäännön mukaan systeemi on tasapainossa, jos siinä lämpötila on kaikkialla yhtä suuri. Tämä viittaisi siihen, että mustan aukon pinta-ala olisi suoraan verrannollinen sen entropiaan ja pintagravitaatio lämpötilaan.

Koska mustan aukon tapahtumahorisontin säde on

r=2GMc2displaystyle r=frac 2GMc^2,

on gravitaatiokiihtyvyys tällä etäisyydellä sen keskipisteestä

g=GMr2=GM4G2m2c4=c44GMdisplaystyle g=frac GMr^2=frac GMfrac 4G^2m^2c^4=frac c^44GM,

siis kääntäen verrannollinen sen massaan.

Ensinäkemältä rinnastus näytti kuitenkin ontuvan. Kaikki kappaleet, joiden lämpötila poikkeaa absoluuttisesta nollapisteestä, nimittäin lähettävät lämpösäteilyä, mutta mustien aukkojen gravitaatio on niin suuri, ettei niiden ajateltu voivan lainkaan säteillä.^[1] Voitiin kuitenkin palauttaa mieleen, että lämpösäteily oli aikaisemminkin aiheuttanut teoreettisille fyysikoille ongelmia. Niinpä klassisen fysiikan mukainen Rayleigh’n–Jeansin laki päti kyllä säteilyn pitkillä, mutta ei lyhyillä aallonpituuksilla, ja vasta Planckin kvanttihypoteesi ratkaisi ongelman. Voitiinkin osoittaa, että myös mustien aukkojen tapauksessa kvanttiteorian tulokset muuttavat tilanteen. Teoreettiset tarkastelut viittasivat siihen, että musta aukko todella säteilee kuin musta kappale, jonka absoluuttinen lämpötila on kääntäen verrannollinen sen massaan ja siten suoraan verrannollinen sen pintagravitaatioon.

Mustien aukkojen "höyrystyminen" |

Kun musta aukko lähettää säteilyä, se menettää energiaa, ja samalla erityisen suhteellisuus­teorian mukaan myös sen massa pienenee yhtälön E=mc² mukaisesti.

Mustan aukon lähettämän säteilyn teho on helpoimmin määritettävissä varauksettomalle mustalle aukolle, joka ei pyöri. Sen Schwarzschildin säde on

rs=2GMc2displaystyle r_s=frac 2GMc^2;,

missä M on aukon massa, G gravitaatiovakio ja c valonnopeus.

Edellä esitetyn mukaisesti se lähettää mustan kappaleen säteilyä kuin kappale, jonka lämpö­tila on

T=hc316π2kGMdisplaystyle T=frac hc^316pi ^2kGM,

missä c on valon­nopeus, h Planckin vakio, G gravitaatio­vakio, M aukon massa ja k Boltzmannin vakio. Tällaisen kappaleen säteily­teho on Stefan-Boltzmannin lain mukaan

P=AsσT4displaystyle P=A_ssigma T^4;

missä A_s on kappaleen pinta-ala, ja T sen lämpötila ja σdisplaystyle sigma Stefan-Boltzmannin vakio, jolle voidaan esittää myös lauseke:

σ=π2kB460ℏ3c2;displaystyle sigma =frac pi ^2k_B^460hbar ^3c^2;

Schwartzchildin säteestä seuraa mustan aukon pinta-alalle A lauseke

A=4πr2=16πG2M2c4displaystyle A=4pi r^2=frac 16pi G^2M^2c^4

ja sijoittamalla nämä lausekkeet edellä esitettyyn mustan aukon säteily­tehon lausekkeeseen saadaan:

P=AsϵσTH4=(16πG2M2c4)(π2kB460ℏ3c2)(ℏc38πGMkB)4=ℏc615360πG2M2displaystyle P=A_sepsilon sigma T_H^4=left(frac 16pi G^2M^2c^4right)left(frac pi ^2k_B^460hbar ^3c^2right)left(frac hbar c^38pi GMk_Bright)^4=frac hbar c^615360pi G^2M^2;

Tulosta

P=ℏc615360πG2M2displaystyle P=frac hbar c^615360pi G^2M^2;

sanotaan Stefanin-Boltzmannin-Schwarzschildin-Hawkingin teholaiksi.

Siinä ℏdisplaystyle hbar on redusoitu Planckin vakio, c valonnopeus ja G gravitaatio­vakio.

Jos mustan aukon massa on samaa luokkaa kuin auringon massa, sen säteily­teho on hyvin pieni, 9 × 10⁻²⁹ wattia. Tällaista kappaletta voidaan täydellä syyllä nimittää mustaksi.

Hawkingin säteilyn vuoksi mustan aukon massa pienenee vähitellen, ellei sinne tule ulko­puolelta ainetta tai säteilyä. Voidaankin laskea, missä ajassa mustan aukon massa tällaisessa tapauksessa pienenee nollaan. Aukon tehon ja sen massan neliön tulo on tällaisessa tapauksessa vakio:

Kev=ℏc615360πG2=3.562×1032W⋅kg2displaystyle K_operatorname ev =frac hbar c^615360pi G^2=3.562times 10^32;textWcdot textkg^2;

Koska Hawkingin säteilyn teho on aukon menettämä energia aika­yksikkö kohti, on

P=−dEdt=KevM2displaystyle P=-frac dEdt=frac K_operatorname ev M^2;

Koska aukon massan ja energian suhde on Einsteinin kaavan mukaan:

E=Mc2displaystyle E=Mc^2;

on säteily­teho samalla verrannollinen aukon massan pienenemis­nopeuteen:

P=−dEdt=−(ddt)Mc2=−c2dMdtdisplaystyle P=-frac dEdt=-left(frac ddtright)Mc^2=-c^2frac dMdt;

Yhdistämällä nämä kaksi lauseketta saadaan:

−c2dMdt=KevM2displaystyle -c^2frac dMdt=frac K_operatorname ev M^2;

Tämä differentiaaliyhtälö on separoituva, ja voidaan kirjoittaa:

M2dM=−Kevc2dtdisplaystyle M^2dM=-frac K_operatorname ev c^2dt;

Näin ollen mustan aukon massa M on ajan t funktio. Jos tämä integroidaan M:n suhteen aukon alkuperäisestä massasta M0displaystyle M_0 nollaan, mikä vastaa tilannetta, jossa aukko on kokonaan "höyrystynyt", ja samalla ajan t suhteen kyseiseltä ajalta, saadaan:

∫M00M2dM=−Kevc2∫0tevdtdisplaystyle int _M_0^0M^2dM=-frac K_operatorname ev c^2int _0^t_operatorname ev dt;

Täten mustan aukon höyrystymiseen kuluva aika on suoraan verrannollinen sen massan kuutioon:

tev=c2M033Kev=(c2M033)(15360πG2ℏc6)=5120πG2M03ℏc4=8.410×10−17[M0kg]3sdisplaystyle t_operatorname ev =frac c^2M_0^33K_operatorname ev =left(frac c^2M_0^33right)left(frac 15360pi G^2hbar c^6right)=frac 5120pi G^2M_0^3hbar c^4=8.410times 10^-17left[frac M_0mathrm kg right]^3mathrm s ;

Musta aukko siis hajoaa ajassa

tev=5120πG2M03ℏc4displaystyle t_operatorname ev =frac 5120pi G^2M_0^3hbar c^4;

missä M0displaystyle M_0 on mustan aukon massa.

Kvantti-ilmiöstä seuraa kuitenkin, että tämä pätee vain, kun massa on vähintään Planckin massan, mPdisplaystyle m_P, suuruinen. Massaltaan Planckin massan suuruisen mustan aukon höyrystymiseen kuluva aika on:

tev=5120πG2mP3ℏc4=5120πtP=5120πℏGc5=8.671×10−40sdisplaystyle t_operatorname ev =frac 5120pi G^2m_P^3hbar c^4=5120pi t_P=5120pi sqrt frac hbar Gc^5=8.671times 10^-40;texts;

tev=5120πℏGc5displaystyle t_operatorname ev =5120pi sqrt frac hbar Gc^5;

missä tPdisplaystyle t_P on Planckin aika.

Jos mustan aukon massa on yhtä suuri kuin auringon massa (M⊙displaystyle M_odot = 1.98892 × 10³⁰ kg),
saadaan höyrystymisajaksi

tev=5120πG2M⊙3ℏc4=6.617×1074sdisplaystyle t_operatorname ev =frac 5120pi G^2M_odot ^3hbar c^4=6.617times 10^74;texts;

eli 2,098 · 10⁶⁷ vuotta. Tämä on paljon pidempi kuin maailman­kaikkeuden ikä, joka nykyisten tietojen mukaan on noin (13,798 ± 0,037) × 10⁹ vuotta.
^[2]

Jos sitä vastoin mustan aukon massa on 10¹¹ kg, sen höyrystymisaika on 2,667 miljardia vuotta. Tämän vuoksi jotkut tähti­tieteilijät etsivätkin merkkejä räjähtävistä primordiaalisista mustista aukoista.

Koska maailmankaikkeus kuitenkin on täynnä kosmista mikro­aalto­säteilyä, musta aukko ei tällä tavoin höyrysty, ellei sen lämpötila ole korkeampi kuin tämän säteilyn taajuus­jakaumaa vastaava lämpötila

Tu=2.725Kdisplaystyle T_u=2.725;textK;.

Tämä edellyttää, että höyrystyvän mustan aukon massa on enintään

MH≤ℏc38πGkBTu≤4.503×1022kgdisplaystyle M_Hleq frac hbar c^38pi Gk_BT_uleq 4.503times 10^22;textkg;

MH≤ℏc38πGkBTudisplaystyle M_Hleq frac hbar c^38pi Gk_BT_u;

MHM⊕=7.539×10−3=0.754%displaystyle frac M_HM_oplus =7.539times 10^-3=0.754;%;

missä M⊕displaystyle M_oplus on Maan massa.

Tavanomaisilla mittayksiköillä tämä on

P=3.56345×1032[kgM]2Wdisplaystyle P=3.563,45times 10^32left[frac mathrm kg Mright]^2mathrm W ;

tev=8.40716×10−17[M0kg]3s  ≈ 2.66×10−24[M0kg]3yrdisplaystyle t_mathrm ev =8.407,16times 10^-17left[frac M_0mathrm kg right]^3mathrm s approx 2.66times 10^-24left[frac M_0mathrm kg right]^3mathrm yr ;

M0=2.28271×105[tevs]1/3kg  ≈ 7.2×107[tevyr]1/3kgdisplaystyle M_0=2.282,71times 10^5left[frac t_mathrm ev mathrm s right]^1/3mathrm kg approx 7.2times 10^7left[frac t_mathrm ev mathrm yr right]^1/3mathrm kg ;

Esimerkiksi mustan aukon elin­ikä on yksi sekunti, jos sen massa on 2,28 × 10⁵ kg, mitä vastaava energia on 2,05 × 10²² J. Tämä vastaa räjähdystä, jonka voimakkuus on 5 · 10⁶megatonnia TNT:tä. Säteilyteho on aluksi 6,84 × 10²¹ W.

Mustan aukon höyrystymisellä on useita merkittäviä seurauksia:

• Mustan aukon höyrystymis­prosessi antaa johdon­mukaisemman kuvan mustan aukon termo­dynamiikasta osoittamalla, miten musta aukko vuorovaikuttaa termo­dynaamisesti muun maailman­kaikkeuden kanssa.


• Useimmista muista kohteista poiketen mustan aukon lämpötila nousee, kun se säteilee energiaa. Tämä lämpötilan nousu on ekspo­nenti­aalinen ja johtaa lopulta siihen, että aukko hajoaa äkillisesti lähettäen ympärilleen suuren määrän gammasäteilyä. Tämän hajoamisen täydellinen kuvaus edellyttää kuitenkin kvanttigravitaatioteoriaa, kun aukon massa lähestyy Planckin massaa ja sen säde Planckin pituutta.


• Yksinkertaisimmat mallit mustan aukon höyrystymiselle johtavat informaatio­paradoksiin. Mustan aukon informaatiosisältö näyttää häviävän, kun se hajoaa, sillä näiden mallien mukaan Hawkingin säteily on satunnainen prosessi eikä siis liity mitenkään alkuperäiseen informaatioon. Ongelmalle on esitetty monia ratkaisuja kuten että Hawkingin säteilyssä esiintyy häiriöitä, jotka sisältävät puuttuvan informaation, että Hawkingin mukainen höyrystyminen jättää jälkeensä joitakin hiukkasia, jotka sisältävät puuttuvan informaation, tai että informaatio näissä olo­suhteissa voikin hävitä.


• Pieni musta aukko säteilee enemmän, joten näyttää siltä, että se olisi kuumempi kuin suuri musta aukko. Tämän seurauksena mustan aukon "kuiviin kiehuminen" on sitä nopeampaa mitä pienemmästä aukosta on kyse. Tarpeeksi pieni musta aukko saattaa näyttää himmeästi hehkuvalta kappaleelta sen säteilevän energian takia. Lopulta säteily on niin voimakasta, että pieni musta aukko näyttää suorastaan räjähtävän pois. Mikäli tällainen pieni musta aukko löytyisi, olisi sen täytynyt syntyä jo alkuräjähdyksen myllerryksessä, sillä nykyisellä taustasäteilyllä mikään luhistunut aukko ei voi menettää massaansa, koska se saa sitä enemmän taustasäteilystä, kuin menettää Hawkingin säteilynä. Tällaisen aukon löytyminen todistaisi Hawkingin säteilyn olemassaolon.

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Hawking radiation

Katso myös |

• Kvanttifluktuaatio

Lähteet |

Aiheesta muualla |

• 
  Scholarpedia: Hawking radiation (englanniksi)